Propriedades na álgebra básica

Potenciação:

Dados um número real a e um número natural n maior que 1, chama-se potência enésima de a, e indica-se por a^n, o produto de n fatores iguais a a: a^n = a*a*a*...*a.

Na potência a^n, o número real a chama-se base e o número natural n, expoente.

Propriedades das potências:

Radiciação:

Dados um número real não negativo a e um número natural maior que 1, chama-se raiz enésima de a, e indica-se por n√a, um número real b tal que b^n = a.

Na raiz n√a, o número real a chama-se radicando, o número n, índice da raiz e o sinal √, radical.

Propriedades dos radicais:

Produtos notáveis e fatoração:

Alguns dos produtos notáveis são o quadrado da soma, o quadrado da diferença, o cubo da soma e o cubo da diferença. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação podemos escrevê-los na forma de uma expressão algébrica formada por parcelas. E o produto da soma de dois termos pela diferença dos mesmos dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Na fatoração, quando escrevemos a*(x+y) no lugar de a*x+a*y, estamos fatorando a expressão a*x+a*y, ou seja, estamos transformando-a na forma de produto de dois fatores, que neste caso são a e (x+y). Quando uma expressão algébrica é formada por parcelas, sendo que um mesmo fator aparece em todas elas, colocamos este fator, chamado fator comum, em evidência. Quando não existe um fator comum para todas as parcelas mas partes da expressão possuem fator comum, separa-se em grupos de parcelas, chamado de agrupamento, com fator comum e aplica-se a fatoração grupo a grupo.

Algumas identidades são usadas na fatoração da diferença de quadrados, diferença e soma de cubos e no trinômio quadrado perfeito.

Identidades dos produtos notáveis e da fatoração:

Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.



Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

P(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20

P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.

As Origens da Matematica

1. Os matemáticos do século vinte
desempenham uma atividade intelectual de
difícil definição, mas complexa sofisticação.
Contudo, boa parte do que hoje se chama
matemática deriva de ideias que
originalmente centravam-se nos conceitos
de número, grandeza e forma.
Durante um relevante período,
considerou-se que a matemática se ocupava
do mundo que nossos sentidos percebiam.
No entanto, a partir do século dezenove, a
matemática pura se libertou das limitações
sugeridas por observações da natureza.
É possível perceber que tais indicativos,
a partir de suas diferenças, parecem
apontar semelhanças: o contraste entre um
lobo e muitos, entre um carneiro e um
rebanho, entre uma árvore e uma floresta,
sugere que um lobo, um carneiro e uma
árvore têm algo em comum – sua
unicidade..